Automorfismo interno

Un automorfismo interno di un gruppo è un automorfismo indotto da un elemento ${\displaystyle g}$ del gruppo tramite coniugio, cioè un automorfismo nella forma

${\displaystyle T_{g}(x)=g^{-1}xg}$

per un elemento fissato ${\displaystyle g}$ del gruppo. Infatti questa funzione è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, ovvero un isomorfismo.

Un automorfismo che non è interno è detto esterno.

In un gruppo abeliano l'unico automorfismo interno è l'identità. Inoltre due elementi ${\displaystyle g}$ ed ${\displaystyle h}$ che appartengono allo stesso laterale del centro ${\displaystyle Z}$ inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se ${\displaystyle g=hz}$ con ${\displaystyle z}$ nel centro allora

${\displaystyle g^{-1}xg}$ = ${\displaystyle z^{-1}h^{-1}xhz}$ = ${\displaystyle h^{-1}xh.}$

L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$, che è un sottogruppo normale del gruppo ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ degli automorfismi del gruppo ${\displaystyle G}$. Il gruppo ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ è isomorfo al gruppo quoziente ${\displaystyle G/Z(G)}$, dove ${\displaystyle Z(G)}$ è il centro di ${\displaystyle G}$.

Nel gruppo simmetrico su ${\displaystyle n}$ elementi, se ${\displaystyle n\neq 6}$, tutti gli automorfismi sono interni.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Inner Automorphism, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Inner automorphism, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.